求分式函数的定义域篇二

求函数的值域的常见方法

王远征

深圳市蛇口学校

求函数的值域是高中数学的重点学习内容，其方法灵活多样，针对不同的问题情景，要求解题者，选择合适的方法，切忌思维刻板。本文就已知解析式求函数的值域，这类问题介绍几种常用的方法。

一、直接法

函数值的集合叫做函数的值域，根据定义，由函数的映射法则和定义域，直接求出函数的值域。

例1． 已知函数yx11，x1,0,1,2，求函数的值域。

2解：因为x1,0,1,2，而f1f33，f0f20，f11 所以：y1,0,3，注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该例的定义域为xr，则函数的值域为y|y1。请体会两者的区别。

二、反函数法

反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。例2． 求函数y1

x5的值域。2x1x分析与解：注意到20，由原函数求出用y表示2的关系式，进而求出值域。由y1

x5x2，得：x21因为20，所以y404y1，1y

值域为：y|4y1

三、函数的单调性

例3．求函数yx1在区间x0,上的值域。x

分析与解答：任取x1,x20,，且x1x2，则

fx1fx2

x1x2x1x21，因为0x

x1x

2x2，所以：x1x20,x1x20，当1x1x2时，x1x210，则fx1fx2；

当0x1x21时，x1x210，则fx1fx2；而当x1时，ymin2 于是：函数yx

在区间x0,上的值域为[2,)。x

构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例4：求函数fxxx的值域。

1x0

分析与解答：因为1x1，而x与x在定义域内的单调性

1x0

不一致。现构造相关函数gxxx，易知g(x)在定义域内单调增。

gmaxg12，gming12，gx2，0g2x2，又f

xg2x4，所以：2f2x4，2fx2。

四、换元法

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将

原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

例5．求函数y(x5x12)(x5x4)21的值域。

959

分析与解答：令tx25x4x，则t。

424

ytt821t28t21t45，9119

当t时，ymin458，值域为y|y8

416164

例6．求函数yx2x的值域。

分析与解答：令tx，则x1t，t0，y1t22tt1

2当t0时，tmax102201 所以值域为(,1]。

例7．求函数yxxx223的值域。分析与解答：由yxxx223=x令x5

2x5，2cos，因为2x5022cos201cos1，[0,]，则2x5=2sin，于是：y

5

2sin2cos52sin5，[,]，4444



2

sin1，所以：52y7。24

五、配方法

对解析式配方，然后求函数的值域。此法适用于形如fxaf当要注意fx的值域。

例8．求函数y

xbfxc，2xx23的值域。

(x1)24，于是：

分析与解答：因为2xx30，即3x1，y

0(x1)244，0y2。

1x22x

4例9．求函数y在区间x[,4]的值域。

4x

42x22x4

x6，分析与解答：由y配方得：yx2xxx14

1x2时，函数yx2是单调减函数，所以6y18； 4x4

当2x4时，函数yx2是单调增函数，所以6y7。

x

所以函数在区间x[,4]的值域是6y18。

当

六、判别式法

把函数yfx同解变形为关于的一元二次方程，利用0，求原函数的值域，此方法适用与解析式中含有分式和根式。

2x22x

3例10．求函数y的值域。

2xx

113

分析与解答：因为xx1x0，原函数变形为：

24

y2x2y2xy30（1）

当y2时，求得y3，所以y2。

当y2时，因为xr，所以一元二次方程（1）有实数根。则：

0，即：y24y2y302y

所以2y

10，3

七、基本不等式法

利用重要不等式ab2ab，a,br求出函数的最值而得出值域的方法。此法的题形特征是：当解析式是和式时，要求积是定值；当解析式是积式时，要求和是定值；为此解答时，常需要对解析式进行恒等变形，具体讲要根据问题本身的特点进行拆项、添项；平方等恒等变形。



x230x

例11．求函数y的值域。

x

2x230x646

4x3234[x2] 分析与解答：y

x2x2x2

因为分母不为0，即x2，所以： 当x2时，x2取等号，ymax18； 当x2时，x2(当且仅当(x2)

2x2

x2

6464,x6时，16，当且仅当x2

x2x2

6464)2x2()16，x2x2

64,x6时，取等号，ymin50； x2

值域y(,18][50,)

注意：利用重要不等式时，要求fx0,且等号要成立。

八、数形结合法

当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例12．如例4求函数yxx的值域。

分析与解答：令ux，vx，则u0,v0，uv2，uvy，22

原问题转化为 ：当直线uvy与圆uv2在直角坐标系uov的第一象限有公

共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin当直线与圆相切时，ymaxod所以：值域为2y2

2；

2oc

2

2。

九．利用函数的有界性：形如sinf(y),x2g(y),sin1,x20可解出yr 范围,从而求出其值域或最值。

2x1

例．求函数yx的值域

21

[解析]：函数的有界性

2x1y1由yx得2x

y121

220,

y1

0y1或y1 y1

求分式函数的定义域篇三

一次型分式函数

二、基本函数作图

例1．作下列函数图象

（1）；

（2）．

归纳1：反比例函数是以坐标轴为渐近线（无限接近）的双曲线，原点是图象的中心对称点；对于（1），点是该双曲线的一个顶点．

归纳2：一般地，函数的图象是双曲线，以坐标轴为渐近线，原点是图象的中心对称点．当时图象分布在一、三象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点；当时图象分布在二、四象限，图象与直线的交点是双曲线的顶点．

三、利用平移作图

例2．类比函数的图象到函数的图象的变换，指出由的图象到的图象的变换，并作出函数的图象．

归纳：图象向右平移1个单位；图象向下平移2个单位，等等．

练习：指出函数的图象由那个函数经过怎样的平移得到，并作出函数的图象．

例3．作函数的图象，并归纳一次型分式函数图象与函数函数的图象的关系．

归纳：一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．

练习：作函数的图象．

四．“二线一点”法作图探究

例4．已知函数．

（1）作函数的图象；

（2）并指出函数自变量x的取值范围（即函数的定义域）；因变量y的取值范围（即函数的值域）．

（3）x的取值范围，y的取值范围反映在图象上的特点是什么？

（函数图象与直线,没有交点，即,是对应双曲线的渐近线）

（4）找到了双曲线的渐近线，根据双曲线图象的大致形状，只要知道图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”就可以画出其大致图象．如何根据函数的解析式直接来确定“象限”？（一般找与坐标轴的交点来确定）

（5）对于一般的一次型分式函数如何来确定渐近线，即确定x与y的取值范围？

（6）观察例4、例3，发现与系数关系．

例5．作函数的图象．

归纳：对于一次型分式函数的作法：

（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；

（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；

（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

练习：用平移法与“二线一点”法分别作函数的图象．

五．小结

1．一次型分式函数本质上是一个反比例函数，两者的图象一般只相差一个平移．其图象是双曲线，其中，是双曲线的两条渐近线（曲线与直线无限接近），点是图象的中心对称点．

2．平移法作函数的图象时，先将函数解析式化为，再由图象平移得到．

3．“二线一点”法作函数的图象时，（1）先确定x与y的取值范围：，即找到双曲线的渐近线，；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．

六．课后作业

1．若函数的图象过点，则函数图象分布在（）

（a）一、四象限（b）二、三象限（c）一、三象限（d）二、四象限

2．函数图象大致形状是（）

（a）

（b）

（c）

（d）

3．函数的图象可由下列那个函数图象平移得到（）

（a）（b）（c）（d）

4．观察函数的图象可得，当时，y的取值范围为（）

（a）（b）（c）（d）或

5．直线与函数图象一个交点的横坐标为，则k=__________．

6．函数在内随着增大而减小，则的取值范围

．

7．已知函数，则y的取值范围为_______________．

8．函数的图象可由函数向_______（左、右）平移________个单位；再向_________（上、下）平移________个单位得到．

9．函数的图象关于点(1,2)对称，则a=__________；b=___________．

10．已知一次函数y1=x+1，p点是反比例函数（k>0）的图象上的任一点，pa⊥x轴，垂足为a，pb⊥y轴，垂足为b，且四边形aobp（o为坐标原点）的面积为2．

（1）求k的值；

（2）求所有满足y1=y2的x的值；

（3）试根据这两个函数的图象，写出所有满足y1>y2的x的取值范围．（只需直接写出结论）

11．已知函数．

（1）写出函数图象由那个反比例函数图象通过怎样的平移得到；

（2）写出函数图象的渐近线、中心对称点坐标；

（3）用“二线一点”法作出函数图象的大致形状．

12．作出函数图像，并完成下列各题：

（1）当时，求的值；

（2）当时，求取值范围；

（3）当时，求取值范围；

求分式函数的定义域篇四

分式型函数求值域的方法探讨

在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。axb(ao,b0)（一次式比一次式）在定义域内求值域。cxd

2x12例1：求f(x)（x)的值域。3x2

3241112(x)122233解：f(x)=0, 23x233x23x233x233(x)3

一、形如f(x)

2其值域为y/y 3

一般性结论，f(x)axbd(ao,b0)如果定义域为x/xcxdc,则值域

ay/y c

例2：求f(x)2x1，x1,2的值域。3x

2分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。

12x1222解：f(x)=，是由y向左平移，向上平移得出，通过图3x233x233x

像观察，其值域为, 35

58

小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。a（a0)的值域。x

分析：此类函数中，当a0，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当a0时，a'对函数求导，f(x)12,f'(x)0时，x(,a)a,），f'(x)0时，x

二、形如求f(x)x

x(a,0)(0,a)，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常

其图像

4,(x(1,4)上的值域。x

2解：将函数整理成f(x)2(x)，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在(0,2)x例3：求f(x)2x

单调递减，在(2,)上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为42,6 

mxnax2bxc

三、用双钩函数解决形如f(x)（m0,a0），f(x)ax2bxcmxn

（m0,a0）在定义内求值域的问题。

t24t1例3：（2010重庆文数）已知t0，则则函数y的最小值为_______.t

t24t11t4，to由基本不等式地y2 解：ytt

例4:求f(x)x1(x1)的值域。2xx

2解：令x1t,则xt1,则f(x)t1t=，(t1)2(t1)2t23t4t43t7其中t0.则由基本不等式得f(x)

4x22x21(x)的值域。例5:求f(x)2x12

t1t14)222(t12tt222解：令t2x1,则x，f(x)==t1 2ttt，其中t0，由基本式得f(x)22

1小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成f(x)x2a(a0)这类型的函x

数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题 ax2bxc(a0,m0)在定义域内求值域。

三、形如f(x)2mxbxc

2x2x1例5：求y2的值域。xx1

分析：当定义域为r时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为r时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。

解：xx10恒恒成立，所以此函数的定义域为xr，将函数整理成关于x的方程，2

yx2yxy2x2x1，(y2)x2(y1)x(y1)0,当y20,关于x的方程

2恒有解，则(y1)4(y2)(y1)0,即1y7，显然，y2也成立，所以其3

值域为y/1y7

3

以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。3